제곱근과 실수 심화 문제: 조건 추론과 계산

문제

두 자연수 $X_1, X_2$에 대한 다음 조건을 만족시키는 값을 구하고, 이를 이용하여 마지막 조건을 만족하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하시오.

조건 1: 자연수 $x$에 대하여 $\sqrt{12x}$의 값이 자연수가 되도록 하는 $x$ 중 가장 작은 값을 $X_1$이라 하자.

조건 2: 자연수 $x$에 대하여 $\sqrt{200-x}$의 값이 유리수가 되도록 하는 $x$ 중, $x$가 홀수이면서 가장 작은 값을 $X_2$라 하자.

조건 3: 두 수 $X_1$과 $X_2$에 대하여, $P = X_1 \times X_2$ 라고 할 때, $\sqrt{P+k}$의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하시오.