제곱근과 실수의 고난도 종합 문제

문제

다음 세 가지 조건을 모두 만족시키는 자연수 $a$의 값을 구하시오.

조건 (가) $\sqrt{240-3x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$ 값 중 가장 큰 수를 $x_1$이라고 한다.

조건 (나) $\sqrt{\frac{128n}{5}}$이 자연수가 되도록 하는 두 자리 자연수 $n$ 값 중 가장 작은 수를 $n_1$이라고 한다.

조건 (다) $\sqrt{\frac{180}{x_1-n_1+a}}$가 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$를 구하시오.