제곱근 표현식의 자연수 및 무리수 조건 만족하는 정수 n의 개수

문제

정수 $n$과 자연수 $k$가 다음 세 가지 조건을 모두 만족할 때, 가능한 정수 $n$의 개수를 구하시오.

(단, 자연수는 1부터 시작하는 수입니다.)

1. $\sqrt{n^2 + 10n + k}$는 자연수이다.
2. $\sqrt{100 - n}$은 무리수이다.
3. $1 \le k < 20$