세 조건식을 만족하는 이차방정식의 상수항 최솟값

문제

자연수 $x$에 대한 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 $C$의 최솟값을 구하시오.

1. $\sqrt{240-6x}$이 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 $A$라고 하자.
2. $x$가 두 자리 자연수일 때, $\sqrt{\frac{504}{x}}$가 자연수가 되도록 하는 $x$의 개수를 $B$라고 하자.
3. $x$에 대한 이차방정식 $X^2 - (A+B)X + C = 0$의 두 근이 모두 자연수일 때, $C$의 최솟값은?