제곱근의 유리수/무리수 조건 심화 문제

문제

자연수 $x$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 $x$의 개수를 구하는 문제이다.

(가) $\sqrt{x^2+12}$가 유리수가 되도록 하는 $x$의 값의 개수를 $A$라 하자. (나) $\sqrt{240-3x}$가 무리수가 되도록 하는 $1 \le x \le 79$ 범위의 자연수 $x$의 개수를 $B$라 하자.

이때, $A+B$의 값을 구하시오.