제곱근의 성질과 정수의 개수

문제

자연수 $n$에 대하여, 두 무리수 $\sqrt{n}$과 $\sqrt{3n+1}$ 사이에 있는 정수의 개수를 $f(n)$이라고 하자. 예를 들어, $f(1)$은 $\sqrt{1}$과 $\sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4}$ 사이에 있는 정수의 개수이므로, $1 < k < 2$를 만족하는 정수 $k$는 없어 $f(1)=0$이다.

$f(n)=2$를 만족하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.