이차함수의 성질, 최댓값 및 방정식의 실근 조건 활용 문제

문제

이차함수 $y=f(x)$는 다음 조건을 만족한다. (가) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프는 두 점 $(0, 1)$과 $(4, 1)$을 지난다. (나) 닫힌 구간 $[1, 5]$에서 이차함수 $f(x)$의 최댓값은 $4$이다.

방정식 $f(x)=k$가 서로 다른 두 실근 $x_1, x_2$를 갖고, 이 두 실근의 차이의 절댓값 $|x_1 - x_2|$가 $4$ 이하가 되도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.