이차함수의 그래프와 조건 추론

문제

이차함수 $y = f(x) = ax^2 + bx + c$는 다음 네 가지 조건을 만족한다.

1. 함수 $f(x)$의 그래프는 점 $(0, 5)$를 지난다.
2. 함수 $f(x)$의 그래프의 대칭축은 직선 $x=3$이다.
3. 닫힌 구간 $[0, 4]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값은 $-4$이다.
4. 이차방정식 $f(x)=0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{6}{5}$이다.

이때, $f(-2)$의 값을 구하시오.