이차함수와 삼각형 넓이

문제

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ ($a eq 0$)의 그래프가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 꼭짓점의 $x$좌표 $p$는 방정식 $p^2 - 4p + 3 = 0$을 만족한다. (나) 그래프는 위로 볼록하며, $x$축과 서로 다른 두 점 $B, C$에서 만나고 $y$축과는 점 $A$에서 만난다. (다) 세 점 $A, B, C$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이는 $12\sqrt{3}$이다. (라) $a, b, c$는 모두 정수이다.

이때, $a+b+c$의 최댓값을 구하시오.