이차함수의 성질을 이용한 계수 추론 문제

문제

어떤 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$는 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 이 이차함수의 그래프는 $y$축과 점 $(0, -12)$에서 만난다. (나) 이 이차함수의 그래프는 $x$축과 서로 다른 두 점 $A(x_1, 0)$, $B(x_2, 0)$($x_1 < x_2$)에서 만나며, 선분 $AB$의 길이는 4이다. (다) 이 이차함수의 꼭짓점 $V(p,q)$는 제1사분면에 존재한다. (라) 이차항의 계수 $a$는 정수이다. (마) 꼭짓점의 $x$좌표 $p$와 $y$좌표 $q$의 합 $p+q$는 정수이다.

이때, $a+b+c$의 값을 구하시오.