이차함수의 성질과 변환

문제

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(2, -3)$이다. 이 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 그래프가 점 $(1, k)$를 지난다. 또한, 원래 함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프의 $x$축과 만나는 두 점 사이의 거리가 $4$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.