이차함수의 그래프와 삼각형의 넓이 활용

문제

이차함수 $y=ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$)의 그래프에 대한 다음 조건들이 주어져 있다.

(가) 이차함수의 꼭짓점 $V$는 제1사분면에 있다. (나) 이차함수의 그래프는 점 $(0, 2)$를 지난다. (다) 이차함수의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 할 때, 선분 $AB$의 길이는 4이다. (라) $\triangle VAB$의 넓이는 6이다.

위 조건을 모두 만족시키는 상수 $a$의 값은?