이차함수의 꼭짓점과 x절편 조건

문제

이차함수 $y = x^2 + (m-3)x + 2m - 5$ 에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 상수 $m$ 의 값은? (단, $m$ 은 정수이다.)

(가) 이차함수의 그래프의 꼭짓점은 제4사분면에 있다. (나) 이차함수의 그래프가 $x$ 축과 만나는 두 점 사이의 거리는 정수이다.