정수근과 공통근 조건을 만족하는 이차방정식 문제

문제

두 이차방정식 $x^2 + (k-2)x - 2k = 0$ 과 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ 이 있다.

두 방정식은 각각 서로 다른 두 정수해를 가지며, 오직 하나의 공통근을 갖는다.

정수 $k, m$ 에 대하여 $10 \\le |k| + |m| \\le 15$ 일 때, 가능한 모든 $k+m$ 값의 합을 구하시오.