이차방정식 고난도 추론 문제

문제

$k$는 정수이다. 이차방정식 $x^2 - (2k+1)x + k^2 - k - 2 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$가 서로 다른 정수일 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 $k$의 값을 구하시오.

(가) 이차함수 $f(x) = x^2 - (k+1)x + (k^2-k-1)$은 $x$가 정수일 때 최솟값을 갖는다. (나) $\alpha^2 + \beta^2$의 값은 어떤 정수의 제곱이 된다.