이차방정식과 이차함수의 고난도 융합 문제

문제

이차방정식 $x^2 + (m-1)x + n = 0$에 대하여 다음 네 가지 조건을 모두 만족하는 양의 정수 $m, n$을 찾으려 한다.

1. 이 이차방정식은 서로 다른 두 정수 해를 갖는다.
2. $m$은 $1 \le m \le 10$인 양의 정수이다.
3. 이차함수 $y = x^2 + (m-1)x + n$의 꼭짓점의 $y$좌표는 $-1$이다.
4. 위 조건을 모두 만족하는 $m, n$의 순서쌍 중, $m+n$의 값이 가장 작을 때의 $m \times n$의 값을 구하시오.