이차방정식의 근과 계수의 관계 및 판별식 활용

문제

두 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$ 과 $x^2 - bx + (a-1) = 0$ 이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $a+b$ 의 값은?

(가) 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$ 의 두 근은 서로 다른 양의 정수이다. (나) 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$ 의 두 근의 차는 $3$ 이다. (다) 이차방정식 $x^2 - bx + (a-1) = 0$ 은 중근을 갖는다.

(단, $a, b$ 는 정수이다.)