정수 근과 공통근을 갖는 이차방정식 문제

문제

두 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$ 과 $x^2 + (b-3)x + (a-5) = 0$ 이 주어져 있다. 다음 조건을 모두 만족하는 상수 $a, b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, b$ 는 정수이다.)

(가) 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$ 의 두 근은 서로 다른 정수 $\alpha, \beta$ 이다. (나) $|\alpha| + |\beta| = 7$ 이다. (다) 두 이차방정식은 공통근을 갖는다. (라) $a > 0$ 이다.