두 이차방정식의 정수 해 조건

문제

정수 $k$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 $k$의 값을 구하시오.

조건 1: 이차방정식 $(k+1)x^2 - (3k+1)x + 2k = 0$ 은 서로 다른 두 정수 해를 갖는다.

조건 2: 조건 1의 두 정수 해를 $\alpha, \beta$라 할 때, 이차방정식 $y^2 + |\alpha - \beta|y + (k+3) = 0$ 도 정수 해를 갖는다.