두 이차방정식의 해 조건과 계수 관계의 정답은?

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어려움이차방정식

두 이차방정식의 해 조건과 계수 관계

두 이차방정식이 정수해를 가질 조건과 근과 계수의 관계를 활용하여 계수의 최댓값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능중학교 3학년

문제

두 이차방정식 $x^2 + (m-3)x + (m-1) = 0$ 과 $x^2 - (2k-1)x + (k^2-k-2) = 0$ 이 있다. 이 두 이차방정식에 대해 다음 조건들이 모두 만족될 때, $k+m$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $m$ 은 자연수이고, $k$ 는 정수이다.)

두 이차방정식 모두 서로 다른 두 정수해를 갖는다.
첫 번째 이차방정식의 두 해를 $\alpha, \beta$ 라 하고, 두 번째 이차방정식의 두 해를 $\gamma, \delta$ 라 할 때, $(\alpha+\beta)^2 = \gamma\delta$ 관계가 성립한다.