두 이차방정식의 정수 해 조건 문제

문제

두 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 과 $x^2+cx+d=0$ 에 대하여 다음 조건이 모두 성립한다.

(가) 각 이차방정식은 서로 다른 두 정수 해를 갖는다. (나) 첫 번째 이차방정식의 두 해를 $p, q$라 할 때, 두 번째 이차방정식의 두 해는 $2p, 3q$이다. (다) $a, b, c, d$는 모두 정수이다. (라) 두 방정식의 모든 해 $p, q, 2p, 3q$는 서로 다른 정수이며, 이 네 해의 합은 양수이다. (마) $b+d=21$.

위 조건을 만족하는 $a+c$의 값을 구하시오.