정사각형 내부의 선분 교점을 활용한 거리 및 넓이 계산

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $s$인 정사각형 $ABCD$에서, 변 $AB$의 중점을 $M$, 변 $BC$의 중점을 $N$이라 하자. 대각선 $AC$와 선분 $DM$의 교점을 $P$, 대각선 $AC$와 선분 $DN$의 교점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$의 길이가 $\\frac{\\sqrt{2}}{3}$이다. 이때, 정사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오.

(참고: 그림은 제공되지 않습니다. 문제의 내용을 정확히 파악하여 풀이해야 합니다.)