직각삼각형 내부 점과 선분의 길이

문제

그림과 같이 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle A = 90^\circ$ 이고 $AB=15$, $AC=20$ 이다. 변 $BC$ 위에 점 $D$를 잡고, 점 $D$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발을 $E$, 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $F$라고 하자. (단, $E$는 변 $AB$ 위에, $F$는 변 $AC$ 위에 있다.) 이때, 점 $D$는 $\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 빗변 $BC$에 내린 수선의 발이다. 선분 $EF$의 중점을 $M$, 선분 $DM$의 중점을 $P$라고 할 때, 선분 $CP$의 길이는?