직각삼각형 속 겹겹이 쌓인 닮음

문제

그림과 같이 $\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 변 $AB$의 길이는 $6$, 변 $BC$의 길이는 $8$입니다. 변 $AC$ 위에 점 $D$가 있고, $CD = 3$입니다. 점 $D$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $E$라고 합니다. 즉, $DE \perp BC$입니다. 점 $E$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $F$라고 합니다. 즉, $EF \perp AC$입니다. 점 $F$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발을 $G$라고 합니다. 즉, $FG \perp AB$입니다.

이때, 선분 $FG$의 길이를 구하시오.