다항식의 곱셈과 인수분해 - 고난도 문제 (인수분해)

문제

다항식 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 에 대하여 다음 조건들을 모두 만족할 때, $a+b$의 모든 가능한 값들의 합을 구하시오. (단, $a,b,c$는 정수이다.)

1. $P(x)$는 서로 다른 세 개의 정수 계수를 갖는 일차식의 곱으로 완전히 인수분해된다.
2. $P(0) = 12$
3. $P(1)$은 0이 아닌 짝수이다.