고난도 다항식의 인수분해 및 정수 조건 활용 문제

문제

다항식 $P(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + k$ 에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 상수 $k$와 양의 정수 $n$을 찾을 때, $k+n$의 값은?

(가) $P(x)$는 계수가 정수인 어떤 다항식의 완전제곱식으로 인수분해된다. (나) $P(n) > 20000$ 을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$의 값을 구한다.