두 이차식의 공통 인수분해 조건 문제

문제

두 이차식 $P(x) = x^2 + (k-3)x + (2k-5)$와 $Q(x) = x^2 - (k-1)x + (k-2)$가 있다. 정수 $k$에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족할 때, $k$의 값은?

(가) $P(x)$는 정수 계수를 갖는 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. (나) $Q(x)$는 정수 계수를 갖는 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. (다) $P(x)$와 $Q(x)$는 공통인 일차식을 갖는다.