조건을 만족하는 다항식의 인수분해

문제

다항식 $P(x) = x^2 + (k-2)x - (2k-1)$ 에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 정수 $k$의 값을 구하시오.

(단, $k$는 정수이고, "소수"는 $1$보다 큰 자연수 중 $1$과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 의미한다.)

1. $P(x)$는 두 일차식의 곱으로 인수분해되며, 이때 각 일차식의 계수는 모두 정수이다.
2. 방정식 $P(x) = 0$ 의 두 근의 합은 소수이다.
3. 방정식 $P(x) = 0$ 의 두 근의 곱은 어떤 정수의 제곱인 완전제곱수이다.