다항식의 인수분해 및 계수 추론

문제

다항식 $P(x,y) = x^2 - 4xy + 4y^2 + Ax - 2Ay + B$ 가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, $B$의 모든 가능한 값의 합을 구하시오.

(단, $A, B$는 자연수이고, 인수분해된 두 일차식의 계수는 정수이다.)

1. $P(x,y)$는 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해된다.
2. $P(x,y)$의 일차 인수 중 하나는 $(x-2y+k)$의 형태이고, 이때 $k$는 소수이다.
3. $P(x,y)$의 두 일차 인수의 상수항의 합은 $10$이다.