원의 성질 심화 문제: 접선, 할선 및 직교 조건

문제

그림과 같이 원의 외부의 한 점 $P$에서 원에 접하는 접선 $PT$와 원과 두 점 $A, B$에서 만나는 할선 $PAB$가 있습니다. 점 $A$는 점 $P$와 $B$ 사이에 있습니다. 선분 $AB$의 중점을 $M$이라고 합시다.

$PA = 4$, $AB = 5$ 이고, 원 위의 점 $C$에 대하여 선분 $TC$가 선분 $PM$에 수직일 때, 선분 $TC$의 길이를 구하시오.

graph TD
    A[P] --> B(T)
    A --> C(A)
    C --> D(B)
    B --> E(C)
    A --> F(M)
    E --> F

    style A fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style B fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style C fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style D fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style E fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style F fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px

    linkStyle 0 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 1 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 2 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 3 stroke:black,stroke-width:1px,stroke-dasharray: 5 5;
    linkStyle 4 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 5 stroke:black,stroke-width:2px;

    %% For the circle, it's difficult to represent with graph TD. Implicitly assumed.
    %% Use text for labels and positioning if needed or describe in problem text

(참고: mermaid 코드 블록은 문제에서 그림 대신 문자로 구성하거나 설명하는 데 사용되며, 실제 출력에서는 그림이 삽입됩니다. 이 문제는 텍스트 설명으로 충분합니다.)