원의 성질 심화 문제: 접선과 할선, 내접사각형의 활용

문제

원 위에 네 점 A, B, C, D가 반시계 방향으로 놓여 있습니다. 점 A에서 원에 접하는 직선 $l$을 그었습니다. 직선 BC는 직선 $l$과 점 P에서 만나고, 직선 CD는 직선 $l$과 점 Q에서 만납니다. 주어진 조건은 다음과 같습니다:

1. $\overline{AD} = \overline{AB}$
2. 할선 PBC에서 $\overline{PC} = 4$
3. 할선 QDC에서 $\overline{QD} = 2$
4. $\overline{PA} = \overline{QA}$

이때, 선분 $\overline{BC}$의 길이를 구하시오.