원과 접선, 현의 고난도 길이 문제

문제

그림과 같이 원 $O$의 외부에 한 점 $P$가 있다. 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선 $PA$, $PB$가 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라고 하자. 또한, 점 $P$를 지나고 원의 중심 $O$를 지나는 직선이 원과 만나는 두 점을 각각 $C$, $D$라고 할 때 ($C$는 $P$와 $D$ 사이에 위치한다), $PA = 6$이고 $\angle APB = 60^\circ$이다. 이때, 선분 $AC$의 길이는 얼마인가?