원의 성질 활용 고난도 문제

문제

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있습니다. 점 $A, B, C, D$는 원 위에 시계 반대 방향으로 순서대로 놓여 있습니다. 원 위의 점 $C$에서의 접선 위에 점 $P$가 놓여 있고, 선분 $AP$는 선분 $BC$와 평행합니다 ($AP \parallel BC$). 주어진 각은 \\angle DAB = 100^\\circ, \\angle BAC = 30^\\circ 이고, 선분 $AP$의 길이는 $10$입니다. 이때, 선분 $BC$의 길이를 구하시오.

graph TD
    subgraph <svg viewBox="0 0 40 40" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:inline-block;vertical-align:middle;width:1.4em;height:1.4em;margin:0 0.2em"><circle cx="20" cy="20" r="15" fill="#4ECDC4" opacity="0.7"/></svg>원
        A --- B
        B --- C
        C --- D
        D --- A
    end

    style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,r:5px
    style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,r:5px
    style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,r:5px
    style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,r:5px

    tangent_line(C에서의 접선) --- P

    A -- AP_line --> P

    P & B -- parallel_line --> C

    linkStyle 0 stroke-width:0px;
    linkStyle 1 stroke-width:0px;
    linkStyle 2 stroke-width:0px;
    linkStyle 3 stroke-width:0px;

    A -- AC_line --> C
    A -- AD_line --> D

    classDef circle_node fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,r:5px;
    class A,B,C,D circle_node;

    style tangent_line stroke:#000,stroke-width:2px,stroke-dasharray: 5 5;
    style AP_line stroke:#000,stroke-width:2px;
    style AC_line stroke:#000,stroke-width:2px;
    style AD_line stroke:#000,stroke-width:2px;

    style parallel_line stroke:#f00,stroke-width:2px,stroke-dasharray: 5 5;