원의 성질 종합 고난도 문제

문제

그림과 같이 원 $O$에 대하여 원 밖의 한 점 $P$에서 원에 그은 접선이 점 $A$에서 접하고, 점 $P$를 지나는 할선이 원과 점 $B$와 점 $C$에서 만난다. 이때 점 $P$, 점 $B$, 점 $C$는 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 또한, 원 위의 점 $D$에 대하여 선분 $AD$와 선분 $BC$는 평행하다. $\angle APB = 30^\circ$이고 $\angle BAC = 40^\circ$일 때, $\angle CAD$의 크기를 구하시오.

(단, 그림은 이해를 돕기 위한 것으로 실제 비례와는 다를 수 있습니다.)