엇갈린 두 선분의 길이 비

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$에서 점 $D$는 변 $AB$ 위에, 점 $E$는 변 $AC$ 위에 있다. $AD:DB = 2:1$ 이고, $AE:EC = 3:1$ 이다. 선분 $BE$와 선분 $CD$의 교점을 $P$라고 할 때, $BP:PE$를 가장 간단한 정수 비로 나타내면?

\begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,3); \coordinate (B) at (-2,0); \coordinate (C) at (3,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

% D on AB with AD:DB = 2:1 \coordinate (D) at ($(A)!0.6666!(B)$); % 2/(2+1) = 2/3 % E on AC with AE:EC = 3:1 \coordinate (E) at ($(A)!0.75!(C)$); % 3/(3+1) = 3/4

\draw (B) -- (E); \draw (C) -- (D);

\coordinate (P) at (intersection of B--E and C--D);

\node[above] at (A) {$A$}; \node[below left] at (B) {$B$}; \node[below right] at (C) {$C$}; \node[left] at (D) {$D$}; \node[right] at (E) {$E$}; \node[above right] at (P) {$P$};

% Label ratios % AD:DB \node[left] at ($(A)!0.333!(D)$) {\small $2$}; \node[left] at ($(D)!0.5!(B)$) {\small $1$}; % AE:EC \node[right] at ($(A)!0.333!(E)$) {\small $3$}; \node[right] at ($(E)!0.5!(C)$) {\small $1$};

\end{tikzpicture} \end{center}