직각삼각형에서 중점 연결선과 수선의 교점 문제

문제

그림과 같이 $\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 선분 $AC$의 길이는 $12$, 선분 $BC$의 길이는 $16$입니다. 점 $M$은 빗변 $AB$의 중점이고, 점 $D$는 선분 $AB$ 위에 있으며, $CD \perp AB$입니다. 점 $E$는 선분 $AC$ 위에 있고, 선분 $ME$는 선분 $BC$와 평행합니다. 선분 $CD$와 선분 $ME$의 교점을 $F$라고 할 때, 선분 $DF$의 길이는 얼마입니까?

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{tikz-euclide}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (B) at (16,0);
  \coordinate (A) at (0,12);

  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

  \path (A) -- (B) node[midway] (M) {};
  \path (A) -- (C) node[midway] (E) {};

  \draw (M) -- (E);
  
  \tkzMarkRightAngle[size=0.3](A,C,B);
  
  % Altitude CD
  \coordinate (D);
  \tkzProjection[ortho=origin](C,A,B)(D); % D is projection of C onto AB
  \tkzInterLL(C,D)(M,E) \tkzGetPoint{F}

  \draw[dashed] (C) -- (D);
  \tkzMarkRightAngle[size=0.3](C,D,B);

  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (M) {$M$};
  \node[above left] at (E) {$E$};
  \node[above right] at (F) {$F$};

  \draw[latex-latex] (A) -- (C) node[midway, left] {$12$};
  \draw[latex-latex] (C) -- (B) node[midway, below] {$16$};

\end{tikzpicture}
\end{document}

(위 LaTeX 코드를 컴파일하여 그림을 확인하세요. 그림은 문제의 조건들을 정확하게 나타냅니다.)