사다리꼴에서 닮음을 이용한 선분 길이 구하기

문제

그림과 같이 사다리꼴 $ABCD$에서 변 $AB$와 변 $CD$가 평행하다. 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점을 $P$라고 하자. 점 $P$를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 변 $AD$와 만나는 점을 $E$, 변 $BC$와 만나는 점을 $F$라고 하자. 변 $AD$의 중점을 $M$, 변 $BC$의 중점을 $N$이라고 하자. $AB = 12$ cm, $CD = 18$ cm일 때, 선분 $MN$의 길이와 선분 $EF$의 길이의 차를 구하시오.