삼각형 속 평행사변형과 닮음

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$에서 변 $AB$의 길이는 $10$, 변 $AC$의 길이는 $12$이다. 점 $D$는 변 $BC$ 위의 한 점이며, $DE \parallel AC$가 되도록 변 $AB$ 위에 점 $E$를 잡고, $DF \parallel AB$가 되도록 변 $AC$ 위에 점 $F$를 잡는다. 이때 사각형 $AEDF$는 평행사변형이 된다. $\triangle BDE$의 둘레의 길이는 $18$이고, $\triangle CDF$의 둘레의 길이는 $24$이며, $\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $42$일 때, 선분 $DE$의 길이는 얼마인가?