삼각형 내부 닮음을 이용한 복합 넓이 문제

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$의 넓이가 $108$일 때, 변 $AB$ 위의 점 $D$는 $AD:DB = 1:2$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $E$는 $DE \parallel BC$를 만족한다. 변 $BC$의 중점을 $F$라 하고, 선분 $AF$와 $DE$의 교점을 $G$라 하자. 또한, 선분 $BE$와 선분 $AF$의 교점을 $H$라 할 때, 사각형 $BDHG$의 넓이를 구하시오.

\coordinate (A) at (0,6); \coordinate (B) at (-4,0); \coordinate (C) at (4,0); \draw (A) node[above] {$A$} -- (B) node[below left] {$B$} -- (C) node[below right] {$C$} -- cycle; \coordinate (D) at ($(A)!0.333!(B)$); \coordinate (E) at ($(A)!0.333!(C)$); \draw (D) node[below left] {$D$} -- (E) node[below right] {$E$}; \coordinate (F) at ($(B)!0.5!(C)$); \draw (F) node[below] {$F$}; \coordinate (G) at (intersection of A--F and D--E); \draw (G) node[below] {$G$}; \coordinate (H) at (intersection of B--E and A--F); \draw (H) node[left] {$H$}; \draw (A) -- (F); \draw (B) -- (E); \end{tikzpicture} $$