삼각형 내 평행선 및 수선 교차점의 넓이 비율

문제

그림과 같이 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90^\circ$이고 $AC=6$, $BC=8$이다. 점 $C$에서 빗변 $AB$에 내린 수선의 발을 $D$라고 하자. 선분 $AC$ 위에 점 $E$를 $CE:EA = 1:2$가 되도록 잡고, 점 $E$를 지나고 선분 $AB$에 평행한 직선이 선분 $BC$와 만나는 점을 $F$라고 하자. 선분 $CD$와 선분 $EF$의 교점을 $G$라고 할 때, $\triangle EGD$의 넓이와 사각형 $BGFD$의 넓이의 비를 가장 간단한 정수비로 나타내시오.

$\text{그림}$

graph TD
    A(A) --- B(B)
    B(B) --- C(C)
    C(C) --- A(A)
    subgraph Triangle ABC
        direction LR
        C -- BC -- B
        C -- AC -- A
        A -- AB -- B
    end
    CD -- D
    E -- F
    G -- D
    G -- E
    G -- F
    style A fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style B fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style C fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style D fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style E fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style F fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style G fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px

    linkStyle 0 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 1 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 2 stroke:black,stroke-width:2px;
    linkStyle 3 stroke:red,stroke-width:2px;
    linkStyle 4 stroke:blue,stroke-width:2px;

    A -- B -- C -- A
    C -- D
    E -- F
    D -- G
    E -- G
    F -- G
    
    subgraph Constraints
        C --- |6| A
        C --- |8| B
        A --- |10| B
        D[D] --- |수선| A
        D[D] --- |수선| B
        E --- F[F] --- |평행| A -- B
        C --- E[E] --- A
        style A fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
        style B fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
        style C fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
        style D fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
        style E fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
        style F fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    end

    subgraph Labels
        A -- (A)
        B -- (B)
        C -- (C)
        D -- (D)
        E -- (E)
        F -- (F)
        G -- (G)
    end