삼각형 내부 닮음을 이용한 고난도 길이 추론

문제

다음 그림과 같이 $\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 변 $AB$의 길이는 $12$, 변 $BC$의 길이는 $16$입니다. 점 $D$는 변 $AB$ 위에 있으며, $AD:DB = 1:2$를 만족합니다. 점 $E$는 변 $BC$ 위에 있으며, 선분 $DE$는 선분 $AC$와 평행합니다. 선분 $BF$는 점 $B$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발이 $F$가 되도록 긋습니다. 선분 $BF$와 선분 $DE$의 교점을 $G$라고 할 때, 선분 $DG$의 길이를 구하시오.