사다리꼴에서 닮음과 넓이 활용

문제

그림과 같이 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$에서 변 $\mathrm{AD}$와 $\mathrm{BC}$는 서로 평행합니다. 대각선 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{P}$라고 하고, 점 $\mathrm{P}$를 지나면서 변 $\mathrm{BC}$에 평행한 직선이 변 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$, 변 $\mathrm{DC}$와 만나는 점을 $\mathrm{F}$라고 합시다.

$\mathrm{AD} = 6$, $\mathrm{BC} = 10$ 이고 $\triangle \mathrm{APD}$의 넓이가 $9$일 때, $\triangle \mathrm{EPB}$의 넓이를 구하시오.

\begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (A) at (0,3); \coordinate (D) at (3,3); \coordinate (B) at (-1,0); \coordinate (C) at (5,0); \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw (A) -- (C); \draw (B) -- (D); \coordinate (P) at (intersection of A--C and B--D); % Corrected positions for E and F \path (A) -- (B) coordinate[pos=0.375] (E); % AE/AB = $ \frac{3}{8} $, so BE/AB = $ \frac{5}{8} $ \path (D) -- (C) coordinate[pos=0.375] (F); % DF/DC = $ \frac{3}{8} $, so CF/CD = $ \frac{5}{8} $ \draw (E) -- (F); \node at (A) [left] {A}; \node at (B) [below left] {B}; \node at (C) [below right] {C}; \node at (D) [right] {D}; \node at (P) [above right] {P}; \node at (E) [above left] {E}; \node at (F) [above right] {F}; \node at (1.5, 3.2) {6}; \node at (2, -0.2) {10}; % Label for Area APD = 9 \fill[gray!20, opacity=0.5] (A)--(P)--(D)--cycle; \node at (P) [xshift=-0.3cm, yshift=0.3cm] {9}; \end{tikzpicture} \end{center}$$