복합 닮음과 넓이 비 활용 문제

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$에서 변 $AB$ 위의 점 $D$와 변 $AC$ 위의 점 $E$에 대하여 $DE \parallel BC$이다. 점 $D$는 변 $AB$를 $AD:DB = 1:2$로 내분한다. 변 $BC$ 위의 점 $F$와 선분 $DE$ 위의 점 $G$에 대하여 선분 $DF$와 선분 $BE$는 점 $G$에서 만난다. $\triangle BDG$의 넓이가 $\triangle EFG$의 넓이의 $4$배일 때, $BF:FC$의 비는?