닮음과 넓이를 활용한 선분 길이 구하기

문제

그림과 같이 $\angle A = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 점 $D$는 변 $BC$ 위의 점으로 $AD \perp BC$입니다. 또한, 점 $E$는 변 $AD$ 위에 있고 점 $F$는 변 $AB$ 위에 있으며, 선분 $EF$는 선분 $BD$와 평행합니다. $AB = 15\text{ cm}$, $AC = 20\text{ cm}$이고 $\triangle AFE$의 넓이가 $12\text{ cm}^2$일 때, 선분 $DE$의 길이는 몇 $\text{cm}$일까요?