닮음을 활용한 선분 길이의 비 구하기 심화 문제

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$에서 변 $AB$ 위의 점 $D$와 변 $AC$ 위의 점 $E$에 대하여 $DE \parallel BC$이다. 또한 $AD : DB = 2 : 1$이다. 두 선분 $BE$와 $CD$의 교점을 $F$라 하고, 점 $A$와 $F$를 잇는 직선이 변 $BC$와 만나는 점을 $G$, 선분 $DE$와 만나는 점을 $H$라 할 때, $FG : GH$의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

(본 문제에는 그림이 포함되어야 합니다. 그림은 텍스트로 표현하기 어려우므로 생략하며, 실제 문제에서는 $\triangle ABC$와 그 안에 설명된 점과 선분들이 그려져 있습니다. 그림은 삼각형 $ABC$의 내부에 $DE \parallel BC$인 선분 $DE$와 대각선처럼 교차하는 $BE, CD$가 그려져 있고, 그 교점 $F$를 지나는 직선 $AG$가 $DE$와 $BC$를 각각 $H, G$에서 만나는 형태로 구성됩니다.)