겹쳐진 닮음비를 이용한 선분의 길이 계산

문제

그림과 같이 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 9$, $\overline{BC} = 12$, $\overline{AC} = 15$ 이다. 점 D는 변 $\overline{AB}$ 위의 점이고, $\overline{AD} = 3$ 이다. 점 D에서 $\overline{BC}$에 평행한 직선을 그어 변 $\overline{AC}$와 만나는 점을 E라고 하자. 점 E에서 $\overline{AB}$에 평행한 직선을 그어 변 $\overline{BC}$와 만나는 점을 F라고 하자. 이때, 선분 $\overline{FC}$의 길이를 구하시오.

\begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \coordinate (A) at (0,6); \coordinate (B) at (-4,0); \coordinate (C) at (5,0);

\draw (A) node[above left] {$A$} -- (B) node[below left] {$B$} -- (C) node[below right] {$C$} -- cycle;

% Calculate D: (0,6) to (-4,0), AD=3, AB=9 => D is $\frac{1}{3}$ way from A to B \coordinate (D) at (-1.333,4); \node[left] at (D) {$D$};

% Calculate E: DE || BC. A,D,B collinear. A,E,C collinear. % Triangle ADE ~ ABC. AD/AB = AE/AC = DE/BC = $\frac{1}{3}$. % E = A + (C-A)/3 = (0,6) + (5,-6)/3 = (0,6) + ($\frac{5}{3}$, -2) = ($\frac{5}{3}$, 4) \coordinate (E) at (1.666,4); \node[right] at (E) {$E$};

% Calculate F: EF || AB. C,F,B collinear. C,E,A collinear. % Triangle CFE ~ CBA. CE/CA = CF/CB = EF/AB. % CE = AC - AE = $15 - 5 = 10$. CA = 15. CE/CA = 10/$15 = 2$/3. % F = C + (B-C)$\frac{2}{3}$ = (5,0) + (-9,0)$\frac{2}{3}$ = (5,0) + (-6,0) = (-1,0) \coordinate (F) at (-1,0); \node[below] at (F) {$F$};

\draw[thick, dashed] (D) -- (E); \draw[thick, dashed] (E) -- (F);

% Labels for lengths \node[above] at ($(A)!0.5!(B)$) {9}; \node[below] at ($(B)!0.5!(C)$) {12}; \node[above right] at ($(A)!0.5!(C)$) {15}; \node[left] at ($(A)!0.166!(D)$) {3}; \end{tikzpicture} \end{center}