직각삼각형과 심화 닮음 문제

문제

그림과 같이 $\angle A = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 선분 $AB$의 길이는 $12$이고, 선분 $AC$의 길이는 $9$입니다. 점 $D$는 변 $BC$ 위의 점으로, 선분 $AD$는 $BC$에 수직입니다. 점 $E$는 변 $AB$ 위의 점으로, 선분 $AE$의 길이는 $4$입니다. 두 점 $D$와 $E$를 지나는 직선이 변 $AC$의 연장선과 만나는 점을 $F$라고 할 때, 선분 $AF$의 길이는 얼마입니까?