닮음을 이용한 평행사변형의 변의 길이 구하기

문제

그림과 같이 $\triangle \text{ABC}$에서 변 $\text{AB}$, $\text{AC}$, $\text{BC}$의 길이는 각각 $\text{AB}=12$, $\text{AC}=9$, $\text{BC}=15$입니다. 변 $\text{BC}$ 위의 한 점 $\text{D}$를 지나고 변 $\text{AC}$에 평행한 직선이 변 $\text{AB}$와 만나는 점을 $\text{E}$라고 합시다. 또한, 점 $\text{D}$를 지나고 변 $\text{AB}$에 평행한 직선이 변 $\text{AC}$와 만나는 점을 $\text{F}$라고 합시다. 사각형 $\text{AEDF}$는 평행사변형일 때, 평행사변형 $\text{AEDF}$의 둘레의 길이가 $20$이라면, 선분 $\text{DE}$의 길이는 얼마입니까?