삼각형의 닮음을 이용한 선분 길이 구하기

문제

그림과 같이 직각삼각형 ABC에서 $\angle A = 90^\circ$이고, $\overline{AB} = 6\text{cm}$, $\overline{AC} = 8\text{cm}$, $\overline{BC} = 10\text{cm}$이다. 점 D는 변 AB 위의 점이고, 점 E는 변 AC 위의 점이며, $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이다. 점 F는 변 BC 위의 점이고, $\overline{DF} \parallel \overline{AC}$이다. 두 삼각형 $\triangle ADE$와 $\triangle DBF$의 넓이의 합이 $12\text{cm}^2$일 때, 선분 $\overline{DE}$의 길이는 몇 cm인가?

[그림]

      A
     /|\
    / | \
   D--|--E
  /   |   \
 /    |    \
B-----F-----C