직각삼각형과 빗변에 내린 수선을 이용한 닮음

문제

그림과 같이 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle BAC = 90^\circ$ 이다. 꼭짓점 $A$에서 빗변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하자. $AB = 12\,\text{cm}$이고 $AC = 9\,\text{cm}$일 때, 선분 $BH$의 길이는?

\coordinate (A) at (0,3); \coordinate (B) at (-4,0); \coordinate (C) at (2,0); \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle; \ ode at (A) [above left] {$A$}; \ ode at (B) [below left] {$B$}; \ ode at (C) [below right] {$C$}; \draw [dashed] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$); \coordinate (H) at ($(B)!(A)!(C)$); \ ode at (H) [below] {$H$}; \ kzMarkRightAngle[size=0.2](C,A,B); \ kzMarkRightAngle[size=0.2](A,H,C); \ ode at ($ (A)!0.5!(B) $ ) [left] {$12\\,\text{cm}$}; \ ode at ($ (A)!0.5!(C) $ ) [right] {$9\\,\text{cm}$}; \end{tikzpicture}$$